在有關貨幣時間價值的相關應用中，年金最為復雜，難度最高。年金也為復利計息的一種，相較于單筆金額復利計息時，投資者只在t=0時刻往銀行賬戶放入初始資金(本文通篇將以投資者進行最簡單的存款投資為例進行說明，投資回報為銀行存款利息)，后續復利期間不取出或新存入資金，年金現值與終值判斷的難度在于投資者除在t=0時刻將資金存入賬戶外，后續每一年/期均會往賬戶新增存入或取出一筆資金。新增存入或取出發生在每一期期末的年金為普通年金。

普通年金終值解析

普通年金的終值計算，與單利計息或單筆金額復利計息類似，均是為了計算初始資金t=0時刻存入銀行賬戶后，未來t=n時刻共能取出金額為多少的本金與利息總和。以下舉例說明普通年金投資現金流變化情況：假設在第一年年末t=1時刻(注：普通年金終值計算時假設投資者進行初始投資的時刻為t=1時刻，而不是t=0)投資者往銀行賬戶存入初始投資金額Inv0，并且此后的每一年年末，投資者均會往銀行賬戶中新增存入Inv0作為后續追加投資，一直持續到第n年年末。截至第n年年末，投資者共完成存入行為n次，共計存入金額為n×Inv0，但因為銀行存款利率的存在，第n年末，投資者銀行賬戶余額Inv(t=n)必定將大于n×Inv0。Inv(t=n)即為此例中普通年金的終值。

法一：由于投資者存入行為發生在多個時點，那么每一筆存入的Inv0將會對應產生不同的利息收入。現將投資者連續在n年年末存入Inv0的行為分開來看，相當于投資者在n年內進行了n次不同的投資，將不同時點存入的Inv0在t=n時刻的本利和相加便可得到Inv(t=n)。在t=1時刻存入的Inv0在t=n時刻本利和為Inv0×(1+i)n-1(按每年復利一次，共復利n-1次);在t=2時刻存入的Inv0在t=n時刻本利和為Inv0×(1+i)n-2，以此類推。

法二：也可通過計算前幾年年末投資者銀行賬戶余額，尋找一定規律獲得第n年年末Inv(t=n)的金額。具體詳細推演步驟入下圖所示：

普通年金現值解析

普通年金現值計算可簡單理解為：現在t=0時刻投資者想進行一筆存款投資，并且之后不再追加投資，但投資者預期每年年末均會從銀行賬戶取走固定金額W，截至第n年年末取完最后一次W(共取n次，取出金額共計n×W)，賬戶余額剛好為0。已知銀行存款利率為i，現求投資者在t=0時刻共要存入多少初始資金Inv0才可滿足投資者后期連續n年的取款。Inv0即為本例普通年金的現值。

由于在t=0時刻投資者存入銀行的初始資金Inv0會在n年內不斷產生利息，即使每年末被取走了W，剩余部分仍可以繼續復利，因此投資者t=0時刻初始存入的資金勢必小于n×W。現要計算Inv0，可以第n年年末取走第n次W后賬戶余額為0作為突破口。第一年年初t=0時刻，投資者往銀行賬戶存入Inv0，到第一年年末t=1時刻，投資者原來t=0時刻存入資金的本利和將變為Inv0×(1+i)，但因為t=1時刻投資者會從賬戶中取走W，故t=1時刻銀行賬戶投資余額將變為Inv0×(1+i)—W;此余額為第二年參與復利的本金，第二年年末投資者取走W之前，賬戶中本利和為【Inv0×(1+i)—W】×(1+i)，取走W后t=2時刻賬戶余額變為【Inv0×(1+i)—W】×(1+i)—W。以此類推，t=n時刻，投資者最后一次取走W后，賬戶余額將為Inv0×(1+i)n +W×【1+(1+i)+(1+i)2+……+(1+i)n】=0，求解Inv0。具體推演步驟如下圖所示：

普通年金應用總結

普通年金雖為貨幣時間價值中的難點應用，但只要深入理解了貨幣時間價值的真正含義，其應用也將逐漸清晰。值得注意的是，本文中為便于理解，通篇采用最基本的存款投資作為案例。實際上，普通年金的應用范圍十分廣泛，可用于多種類型的投資項目，但其中的本質均是一樣的，理解其公式的來源以及推導后，便可靈活應用于各類投資分析。

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