最簡單的題最需要心算能力

首先我們來看第一道題：

6的13次方 =?

這道題看起來最簡單，但恰恰是3道題中最需要心算能力的。乘方的速算可以有很多不同的方法，最笨蛋的就是直接心算。

直接心算這個方法很笨拙，先計算 6的2次方得到36，再計算 6的3次方 = 36×6 = 216，接著計算 6的4 次方= 216×6 = 1296，以此類推，直到計算出6的13次方為止。雖然笨，卻直觀。它更適合位數較少的冪計算，并且在冪底為個位數的時候，不斷心算乘法對記憶存儲數據要求較小。當冪底超過個位數時，這個方法就不太合適了。

因此，我們來介紹一個簡單易上手的計算方法。

首先第一步，把 613 拆開計算

6的13次方 = ( (216)2)2×6

6的3次方是個口算級別的題，對數字敏感的人可以脫口而出216。于是題目接下來變為

(2162)2×6 =?

計算 2162 比計算 63 要稍微難一些，但也還算簡單，利用 (a+b)2 =a2+2ab+b2 可以把這個計算簡化。

2162 = (200+16)×(200+16) = 40000+3200×2+256 = 46656

接下來是最困難的一步，是計算 466562，進入五位數乘法的范疇，如果完全不靠紙筆記錄，那需要你具有一定的數字記憶與存儲能力。

首先還是利用公式進行拆分，拆分的原則是拆分出的有效位數盡可能接近，比如把 46656 拆分成 4×104+6656 就不太合適，更好的拆分方式是 46×102+656。這樣在之后的計算中會略微容易一些。

466562 = (46000+656)×(46000+656) = 462×1000000+656×46×2×1000+6562

這步也很直接，這里分別展示一下每個部分的速算方式

462 = (45+1)×(45+1) = 452+90+1

注意，(10x+5)2有一個非常好用的速算公式，我們把這個式子拆開看一下：

(10x+5)2 = x2×102+10x×5×2+52 = (x2+x)×102+52 = 100x(x+1)+25

記住這個公式，對速算很有幫助，之后我們也會反復利用這個公式來進行計算。

452 = 4×(4+1)×100+25 = 2025

462= 2025+91 = 2116

第二部分的速算方法，是不斷地在計算過程中拆出 10 的冪次數，具體過程如下(這并不是唯一的方法，也許你有更熟悉的方法來加快計算)：

656×46×2 = 656×92 = 656×(100-10+2) = 65600-6560+1312 = 60000-960+1312 = 60000+312+40 = 60352

最后計算6562，同樣利用剛剛介紹的公式：

6562 = (650+6)2 = 6502+650×6×2+36 = (6×(6+1)×100+25)×100+1300×6+36 = 422500+7800+36 = 430336

得到這幾部分的值之后，繼續計算加法就可以得到：

466562 = 2116000000+60352000+430336 = 2176782336

最后一步沒什么很特別的方法，還是直接心算比較方便：

2176782336×6 = 13060694016

看起來過程很多很繁瑣對不對，但是其實當中的奧義只有兩條：

反復對復雜的數字進行以0結尾或者以5結尾的拆分;

利用各類公式來簡化計算。

雖然方法好掌握，但你現在可能還達不到一下子就算出來 613 是多少的地步。利用這些方法，輕松計算出 65、66、67 問題不大。經過一段時間的訓練，不說達到周瑋的速度，超過大多數人的筆算速度與準確度并非難事。

需要注意的是，速算方法并沒有最優一說，挑選自己記得住的與擅長的計算方式，才是最好的。

上述方法是計算精確值的，如果只是估計個大概，那又會簡單得多。

lg(6) = lg(2)+lg(3) = 0.301+0.477 = 0.778

lg(6)×13 = 0.778×13 =10.1

計算1010.1約等于1010 = 10000000000

這個誤差為 30%，不過數量級上是準確的。如果需要更加準確的估算，則是計算 1010.1 = 1010×100.1，假如你恰好記得 100.1 = 1.26 ，那最后的估算值就是 12600000000。誤差一下子縮小為 3.5%，已經算比較準確的估算了。

如果你對對數不太熟悉的話，還有另一種估算法。首先，我們把 63近似為 200，然后重復上面的步驟：

(63)2=4 0000

((63)2)2=16 0000 0000

6×((63)2)2=96 0000 0000≈100 0000 0000

在需要計算數量級的時候，這個精度是夠的。

在進行這種大數計算的時候，可以使用科學計數法的e代替末尾的一系列0。比如，最后一行可以讀成 96e8≈1e10。事實上，這可以看作是對對數的一種應用，但是在腦子里計算的時候會簡單很多。

如果對這個精度無法接受或想要確認誤差的話，可以從誤差來源判斷：主要的誤差來源于把 216 近似成 200 的時候帶來了 +8% 的誤差，然后這個 +8% 的誤差被平方了兩次，所以誤差變成了 8%×4 = 32%。因此進行誤差修正后，就會得到 1.32×1010 的結果。你大可以對最后一步，把 96 近似成 100 帶來的 4% 誤差，也納入考慮，那樣就會得到 1.28×1010 的結果。無論是哪種結果，和準確值的實際誤差都是 2% 左右。

看似嚇人的開高次方，其實沒有那么可怕

再來看第二道題：

實際上，對于一個普通人，不使用計算器的情況下，完全以手動方式求一個很大數字開n次方根，并不需要高深的數學，只需要依靠加減乘除和一些簡單的對數計算法則就可以。

依然以周瑋的這道題為例，首先

1391237759766345數字太大，不妨近似一下：

根據 10<13.9<24，可以估算出lg(13.9)介于1到1.2之間。

所以 13.9 的 14 次方根的對數值，應該是比0.1小一些(實際上是在0.07-0.08左右)。于是，

的對數，就應該比1.1小一些。

如果利用之前寫過的 100.1≈1.26，可以得到

< 101.1 ≈ 12.6。準確的值肯定小于這個數字。

另外一種做法是通過試乘法計算。由于這個題目給的數據范圍，我們幾乎一定可以把答案的范圍限制在 10-13 左右。所以如果只需要一位精度，那么我們可以試著去估算 1.1，1.2，1.3 這三個數的 14 次方，并和給定值進行比較。如果需要更高位精度的話，這種做法就略顯無力了。

至于節目中第3道題，也是類似。

首先將整個算式轉化成對數，首先提出一個10，把式子變成：

這時需要估算lg(3.2)，即：

lg(3.2) = lg(32*0.1)=lg(32)+lg0.1=lg(2^5)+(-1) = lg(2)×5-1

于是，上面的這個式子就變為：

lg(2)×7+(lg(2)×5-1)/13+1 = 0.3010×7+(0.3010×5-1)/13+1 = 3.147

最后計算103.147 = 1000×100.147。后面這部分可以粗略估算為0.147是lg(2)的一半，所以最后的結果是

，再乘以1000等于1400左右。

沒有計算器，沒有對數表，也沒有超強的大腦，只要對于精確度要求不是很苛刻，徒手計算出一個巨大數字的次方根完全可能。并且，這樣的方法不止一種。即便如此，想要快速報出答案，一些必要的練習還是免不了的。只可惜，現代數學研究幾乎不需要這種速算能力了。

心算能力在現在這個設備與技術齊全的時代來說，更為主要的用處是對構造出的公式進行初步的估算和簡單的合理性驗證。如果需要更高的精度，使用計算機更簡單。

最后講一個小故事

兩列火車相隔 200 公里，各以每小時 50 千米的速度相向而行。一只蒼蠅從其中一列前端出發，以每小時 75 千米的速度，在兩列車之間來來回回飛個不停，問：直到兩車相撞，蒼蠅飛過的總距離是多少?

這當然是一道級數求和的題。但它有另一個巧妙的解答：既然兩車相隔200千米，每小時各行駛 50 千米，它們要過 2 小時才相撞。所以，蒼蠅飛了2小時，因此它必定飛了150千米。你看，換個方法，萬事大吉。

傳說在一次晚宴上，一個年輕人碰到馮·諾依曼，也問了他這道題。馮·諾依曼沉吟幾秒后回答：“哦，當然是150千米。”年輕人被小小震了一下，心想馮老師果然大牛，于是拍起了馬屁。“啊，馮老師果然高明，一下就想到了時間乘以蒼蠅速度的方法。”馮·諾依曼答道：“什么?我求了級數之和。”